Laplacen yhtälömatematiikka

Laplacen yhtälö, toisen asteen osittainen differentiaaliyhtälö, joka on laajalti hyödyllinen fysiikassa, koska sen ratkaisut R (tunnetaan harmonisina funktioina) esiintyvät sähköisten, magneettisten ja painovoimapotentiaalien, vakaan tilan lämpötilojen ja hydrodynamiikan ongelmissa. Kaavan löysi ranskalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Pierre-Simon Laplace (1749–1827).

fysiikan periaatteet: Divergenssi ja Laplacen yhtälö

Kun varauksia ei ole eristetty, pisteet muodostavat jatkuvan jakauman paikallisen varaustiheyden ρ ollessa varauksen suhde δ

Laplacen yhtälössä todetaan, että R: n toisen asteen osittaisjohdannaisten summa, tuntematon funktio, Cartesian koordinaattien suhteen, on nolla:

Vasemmalla olevaa summaa edustaa usein lauseke ∇ ² R, jossa symbolia ∇ ² kutsutaan Laplacianiksi tai Laplacen operaattoriksi.

Monia fysikaalisia järjestelmiä kuvataan sopivimmin käyttämällä pallo- tai lieriömäisiä koordinaattijärjestelmiä. Laplacen yhtälö voidaan laatia uudelleen näissä koordinaateissa; esimerkiksi sylinterimäisissä koordinaateissa Laplacen yhtälö on